Одна из самых застарелых проблем алгебры наконец нашла неожиданное решение.
Речь идет о полиномах высокой степени — уравнениях, где переменная возводится в пятую, шестую или даже более высокую степень. На протяжении столетий математики бились над загадкой: как найти универсальный метод решения таких уравнений? Древние вавилоняне еще в 1800 году до н. э. научились справляться с многочленами второй степени (вспомните школьную формулу с дискриминантом), а итальянские ученые в XVI веке одолели третью и четвертую степени. Но дальше прогресс застопорился.
Все изменилось в 1832 году, когда французский гений Эварист Галуа доказал: для уравнений пятой степени и выше не существует общей формулы в привычном смысле. Точнее, он показал, что лежащая в основе этих уравнений математическая симметрия разрушается, словно пазл, который невозможно собрать.
С тех пор ученые мирились с приближенными решениями, но не с точными. И вот теперь почётный профессор Сиднейского университета Норман Уайлдбергер заявил: он нашел выход. Совместно с ученым-компьютерщиком Дином Рубином они разработали метод, который обходит радикалы (те самые корни, где таится бесконечность) и открывает новую главу в алгебре.
Суть проблемы — в иррациональных числах. Возьмите простое на вид выражение $sqrt[3]{7}$. На деле это бесконечная десятичная дробь $1,9129118…$, которая длится вечно без повторений.
Математики привыкли обращаться с ней как с единым объектом, но Уайлдбергер называет это лукавством: бесконечность нельзя уместить даже на диске размером с Вселенную. Потому он давно "не верит в иррациональные числа" — по его мнению, они заводят алгебру в логические тупики. Ещё 15 лет назад профессор создал альтернативную теорию — рациональную тригонометрию, где синусы и косинусы не нужны, а все операции строятся на возведении в квадрат и простых арифметических действиях.
Новый метод решения полиномов основан на "степенны́х рядах" — особых последовательностях, где степени $x$ продолжаются до бесконечности, но в упрощённом виде. Это не просто математический трюк: Уайлдбергер с Рубином обнаружили связь с комбинаторикой — наукой о подсчёте вариантов. К примеру, знаменитые каталонские числа показывают, сколькими способами можно разрезать многоугольник на треугольники.
Эти числа уже работают в компьютерных алгоритмах и даже в биологии (например, при сворачивании молекул РНК). Так вот, сиднейские ученые расширили каталонские числа на несколько измерений и получили многомерные массивы — "Геоды" (Geodes). Именно они дают ключи к полиномам любой степени.
По словам Уайлдбергера, теперь даже кубические уравнения (где $x$ в пятой степени) получили четкое решение — не приближенное, а алгебраически точное. Это не только теоретический прорыв: компьютерные программы смогут обсчитывать уравнения гораздо быстрее, опираясь не на радикалы, а на конечные числовые последовательности.
Сам же профессор уверен: "Геоды" — лишь вершина нового айсберга. Их изучение откроет столько вопросов, что комбинаторщики будут заняты на годы вперед. "Это только начало", — улыбается Уайлдбергер.
Уточнения
Эвари́ст Галуа́ — французский математик, основатель современной высшей алгебры. Радикальный революционер-республиканец, он был застрелен на дуэли в возрасте двадцати лет.