Александр Буфетов,
профессор РАН
«Троицкий вариант — Наука» №25(444), 23 декабря 2025 года
Оригинал статьи на сайте «Троицкого варианта»
Κύριε, εἰ ἦς ὧδε, οὐκ ἂν ἀπέθανεν ὁ ἀδελφός μου.
καὶ νῦν οἶδα ὅτι ὅσα ἂν αἰτήσῃ τὸν θεὸν δώσει σοι ὁ θεός.1
Сергей Маркелов в 1998 году
Прошел год без Серёжи Маркелова. Сколько раз, в самых разных жизненных трудностях, в уходящем году я думал: «спросить бы Серёжу». Но не спросишь. С болью вдумываюсь в молчаливый уход Серёжи.
Сергей Валерьевич Маркелов был блистательным задачным композитором, автором задач для Московской математической олимпиады и Турнира городов, Математического праздника, Олимпиады Шарыгина и многих других состязаний. Математическая олимпиада — по определению конкурс по решению математических задач. «В олимпиадной задаче должно быть чудо», — перефразируя В. В. Произволова, сказал мне Г. А. Мерзон. Олимпиадная задача может иллюстрировать простоту, глубину, красоту, парадоксальность математического открытия на доступном ребенку материале. Я представляю себе олимпиадную задачу примерно так: ясная и краткая формулировка, неожиданный, но, по размышлении, естественный и неизбежный ответ, решение не слишком длинное, нестандартное, но в то же время доступное, придумываемое: если задачу не смог решить никто из конкурсантов — это провал. Умение придумывать красивые олимпиадные задачи — специальный редкий дар.
Среди опубликованных задач Сергея Валерьевича пробую условно выделить три группы: 1) задачи на разрезания и замощения, 2) задачи по классической планиметрии и 3) задачи по алгебре и теории чисел.
Третья группа, сравнительно небольшая по объему, содержит между тем настоящие жемчужины:
Турнир городов, осень 2006 года, 8 класс.
Пусть 1 + 1/2 + ... + 1/n = an/bn, где an/bn — несократимая дробь. Докажите, что неравенство b{n+1} < bn выполнено для бесконечного числа натуральных n.
Новую красивую задачу по классической планиметрии придумать особенно трудно — как написать новое восьмистишие четырехстопным ямбом. Сергею Валерьевичу принадлежат замечательные, полностью классические по форме, очень оригинальные задачи по планиметрии. Выписываю две:
Московская математическая олимпиада, 2004 год, 8 класс2.
В треугольнике ABC сторона AC наименьшая. На сторонах AB и CB взяты точки K и L соответственно, причем KA = AC = CL. Пусть M — точка пересечения AL и KC, а I — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Докажите, что прямая MI перпендикулярна прямой AC.
Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина, 2011 год, 8 класс.
Через вершину A равностороннего треугольника ABC проведена прямая, не пересекающая отрезок BC. По разные стороны от точки A на этой прямой взяты точки M и N так, что AM = AN = AB (точка B внутри угла MAC). Докажите, что прямые AB, AC, BN, CM образуют вписанный четырехугольник.
Больше всего задач в первой группе: на сайте problems.ru разрезаниям и замощениям посвящены, в частности, задачи 111637, 103799, 116172, 116192, 111912, 115894, 105201, 86104, 115887, 86109, 98372. Вопросы о замощении плоскости многоугольниками — тонкие и трудные, в этой активно развивающейся области много открытых проблем. Вместе с непрерывным вопросом о замощении евклидовых пространств рассматривается его дискретный аналог — вопрос о замощениях счетных абелевых групп — в частности, целочисленной плоскости — их конечными подмножествами.
К работам Ванга 1960-х–1970-х [1, 2] восходит проблема периодичности: если конечным набором конечных плиток можно замостить счетную абелеву группу, то при каких условиях найдется и периодическое замощение данными плитками? Например, если плитка одна? В 2016 году Сиддхарта Бхаттачария доказал такую теорему: если конечное подмножество замащивает целочисленную плоскость, то существует и периодическое замощение [3]. Несмотря на понятную школьнику формулировку, докbазательство автора не совсем школьное: ключевую роль в рассуждении играет неожиданное красивое свойство сохраняющих конечную меру эргодических действий группы Z2: если конечное число сдвигов некоторого измеримого подмножества А замащивают всё вероятностное пространство, то само подмножество А допускает конечное разбиение на измеримые подмножества, инвариантные под действием нетривиальных однопараметрических подгрупп. Доказательство утверждения об эргодических действиях опирается в свою очередь на частный случай теоремы Ратнер о классификации инвариантных мер унипотентных потоков. Как следствие Бхаттачария доказал, что вопрос о том, замащивает ли данная плитка целочисленную плоскость, алгоритмически разрешим. Вопрос о том, верен ли аналог теоремы Бхаттачарии в более высокой размерности, сложнее. Если число точек в нашем конечном подмножестве простое, то из наличия замощения следует наличие периодического3. В общем же случае, в достаточно высокой размерности, это неверно, что показали Гринфельд и Тао [4, 5]. Вопрос о существовании замощения одной конечной плиткой в размерности три и выше алгоритмически неразрешим и независим от системы аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора [6, 7]. (Точный результат Гринфельд и Тао несколько сильнее: контрпример к проблеме периодичности построен, алгоритмическая неразрешимость и независимость от ZFC доказаны в прямом произведении Z2 и некоторой конечной абелевой группы [8].)
Окном в удивительный мир замощений абелевых групп могут быть остроумные и прозрачные задачи Сергея Валерьевича:
Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина, 2009 год, 8 класс.
Можно ли расположить на плоскости четыре равных многоугольника так, чтобы каждые два из них не имели общих внутренних точек, но имели общий отрезок границы?
Московская устная олимпиада по геометрии, 2005 год, 10 класс.
ABCDE — правильный пятиугольник. Tочка B' симметрична точке B относительно прямой AC. Mожно ли пятиугольниками, равными AB'CDE, замостить плоскость?
Разумеется, у Сергея Валерьевича есть прекрасные задачи и за пределами указанных трех групп. Например, Сергей Валерьевич ввел в мир школьных состязаний хорошо известное автомобилистам наблюдение:
С какой стороны руль автомобиля?
Задача прижилась: по слову руководителей кружков, дети с удовольствием ее решают4.
Общих размышлений об основаниях математики Сергей Валерьевич не любил: «Надо решать задачи, а не думать о том, что решаешь задачи». Я не соглашался, мы горячо спорили. В задачах Сергея Валерьевича виден его вкус к конкретному. В целом задачи Сергея Валерьевича пробую описать словами «игра с ребенком». Необязательно соглашаться с Виттгенштейном в том, что вся математика — языковая игра, чтобы использовать в преподавании математики то, что дети любят играть. Сергей Валерьевич был одним из редких педагогов, умеющих работать с младшеклассниками и дошкольниками. Маленькие дети доверчиво тянулись к нему.
* * *
Да и все мы к нему тянулись. Серёжа притягивал. Серёжа обладал замечательным талантом угадать то, что нужно его другу — и именно это подарить.
О себе самом, между тем, рассказывать он не очень любил, и зная его больше 30 лет — мы встретились впервые на первой Всероссийской олимпиаде по математике, в Анапе, в 1993 году — я мало знал о его жизни. Осенью 1993-го мы вместе ходили в Независимый. Потом Серёжа, не кончив курса, ушел в бизнес.
Занимался он логистикой. Дело свое любил («В логистике контракт выигрывается на промилле!») — может быть, среди прочего, за виртуозную точность деталей («Если при погрузке на корабль контейнер сорвется с подъемного крана, то кто возмещает ущерб?» — запомнил Серёжины слова так, что ответ определяется тем, куда именно упадет сорвавшийся груз, на землю, на корабль или в воду). Как-то я удивился новозеландскому маслу на московских прилавках — Серёжа парировал мгновенно: «Если составить карту мира с метрикой, задаваемой стоимостью перевозок, то мировой океан окажется стянут в точку» — отправить товар морем, на кораблях, диаметром превосходящих Александрию Птолемеев, так дешево, объяснял мне (читатель видит уже, что в нулевые) Серёжа, что ввозить масло из Новой Зеландии выгоднее, чем сбивать его в Вологде. Серёже дан был Formuliertalent — так проявлялась и его любовь к парадоксам. Из его рассказов логиста можно было бы составить книгу, жалею, что не записывал их. Привожу по памяти один. Простой сюжет, не слишком новый — кто ж не читал у Гоголя о таможенниках? — в устах Серёжи обретал широкое звучание, как рассказ о капитане Тушине.
Дело было до введения обязательной маркировки меховых изделий. На главном таможенном пункте одного из главных таможенных управлений России молодой офицер обнаружил партию контрабандных шуб в багаже частного лица. Офицеру указали на то, что лицо это — жена важного сановника. Офицер оказался принципиальным. Что сделали с офицером? Серёжа замер, как экзаменатор, поставивший вопрос, которым будет определяться оценка.
— Серёж, неужели наказали?
— Нет, Саша, конечно, не наказали. Ему объявили благодарность. Повысили. И перевели. Да. Перевели с повышением. В Анадырь. Туда один корабль в год заходит.
Серёжа остро чувствовал несправедливость, был глубоко убежден, что с несправедливостью нужно активно бороться, был сам готов к такой борьбе. Нужно знать законы, нужно быть готовым защищать себя в рамках закона, в подавляющем большинстве повседневных (и даже не очень повседневных) коллизий дающего грамотному гражданину такую возможность — этот тезис, который Серёжа не раз мне высказывал, был частным случаем более общего: Серёжа был глубоко убежден, что жизнь нужно активно строить и можно хорошо построить. Разрешите мне проиллюстрировать этот общий Серёжин тезис недавним простым примером.
Мой молодой друг учился в колледже на сварщика, а подрабатывал в большом отеле — и думал о будущем: продолжать ли сварщиком или, наоборот, сосредоточиться на отеле? Можно ли в гостиничном деле, начав снизу, дойти до высот? Как всегда в таких случаях, я спросил Серёжу. Серёжа ответил мне в телеграме со своим обычным заразительным жизнелюбием, твердой верой в жизнестроительство и острой точностью формулировок. Привожу его ответ дословно.
«Так бывает. Но это рассуждение не учитывает того обстоятельства, что есть „градус наклона конуса“. Стать директором отеля — это лайт-версия „стать космонавтом“ (о чем мечтали многие мальчики в СССР — и не прислушивались к моим словам, что всего за всё время в космос полетело менее 200 человек), или стать игроком NBA в баскетбол (Леброн Джеймс из лучших побуждений приезжает в бедные негритянские кварталы и рассказывает: вот я очень старался учиться баскетболу и стал миллионером — но почти никто не говорит этим детям „если очень стараться стать игроком NBA, у тебя шанс 0,001% зарабатывать баскетболом; а если очень стараться стать IT-шником или сварщиком, то примерно 95% этим потом зарабатывать“).
Директоров отелей больше, чем космонавтов. Один директор управляет, допустим, в среднем 100 людьми. Т. е. один из 100 начинающих работников — станет потом директором. Остальные, даже если будут очень стараться — этого старания мало, для них тупо нет директорских кресел. Кроме старания, нужно ещё феноменальное везение или блат. Пирамида — с очень тупым углом при вершине.
Со сварщиками — совершенно иная картина. Никакого везения или блата не нужно для повышения квалификации с 3-го разряда на 4-й. Нужно научиться варить герметично трубы на бесповоротных стыках. Такого человека специально приглашают (и оплачивают), когда нельзя повернуть трубу по оси на 180°, чтобы вывести нижнюю часть наверх. Я не говорю, что это легко. Вовсе нет. Тезис в ином — это зависит только от усилий самого парня.
И в остальных слагаемых для 4-го разряда — научиться сваривать чугун, и что там еще требуется (я давно не общался со сварщиками и пишу на память, могу путать детали) — но во всём этом нет нужды ни в везении, ни в блате.
И дальше на 5-й разряд — та же картина. Нужно научиться варить легированные металлы, сваривать трубопроводы, в которых потом будет высокое давление и ещё Бог знает что. Всё это дело хлопотное, но уже детально изученное товарищами учёными. Многое может пойти не так разными способами, и это нужно быстро исправлять — но есть ясные инструкции от физиков и инженеров, что делать при том или ином неблагоприятном развитии событий. Нужно их выучить и отработать на практике (часто времени на устранение мало, иначе дорогостоящее что-нибудь сломается, протечет, прорвется и т. д.).
Вот 6-й разряд — тут уже иная картина, нужно по сути физическое образование (там требуется умение работать с экспериментальными сплавами, самостоятельно определяя способ сварки, силу тока, тип газов и присадочных материалов). Это нельзя делать, лишь освоив чужие инструкции, пусть и сложные. Поэтому 6-й разряд я оставляю за скобками, это в каком-то смысле уже научная работа.
Но до 5-го включительно — пирамида с очень острым углом при вершине. Фактически — любой, кто прилежно и системно прилагает к этому усилия — может со временем выйти на этот результат. Совершенно иная картина, чем на дороге от нижнего работника отеля к директору, где 99% этот приз не получат даже при максимальном прилежании».
Сделанное нам доброе дело продолжает жить в нас собственной жизнью, жизнью, которая продолжается, когда нет уже на свете того, кто сделал доброе дело. Много лет назад Серёжа научил меня звонить в колокола в Светлую Седмицу. Своих детей научил — и заодно меня. Сегодня, вспоминая Серёжин подарок, пробую найти ответ на просто формулируемый вопрос, неожиданно оказавшийся покрытым острыми шипами — как пришел на Русь колокольный звон? Как в Византию? Следуя обзору Бояна Мильковича [9], вспомним, что если в Кампании колокольный звон в монастырях засвидетельствован уже в начале VI века — cui ministerio sonoram servire campanam beatissimorum statuit consuetudo sanctissima monachorum («установил святой монашеский обычай звучных колоколов на богослужении») — то на Востоке, насколько видно по источникам, в это время для призыва верующих на богослужение использовалось било (ξύλον, или, позже, σημαντήριον). В венецианских древних хрониках [10] упоминаются двенадцать колоколов, которые дож Orso Participazio подарил императору Василию Первому — Domnus quidem Ursus dux, efflagitante Basilio imperatore, eo tempore duodecim campanas Constantinopolim misit; quas imperator in ecclesia noviter ab eo constructa posuit, et ex tempore illo Greci campanas habere ceperunt («в самом деле, владыка [наш] Урсус дож отправил в то время по просьбе императора Василия двенадцать колоколов в Константинополь; император поместил их в только что построенную [Новую] Церковь, и с тех пор греки начали использовать [в богослужении] колокола»). Рассказ превосходен — действительно, кто, как не Василий Македонец (если верить арабским авторам, из славян), сын бедного крестьянина, своей красотой покоривший Константинополь, императорский постельничий (παρακοιμώμενος), Император, основатель новой династии, творец Македонского Возрождения, кто, как не он, мог ввести колокола в греческое богослужение? — только, к сожалению, в греческих источниках его времени не находим упоминаний о колоколах. Первый надежный источник, пишет Милькович — инвентарь Русской Богородичной Ксилургийской обители на Афоне 1143 году — в нем прямо упоминаются колокола. Милькович высказывает предположение, что колокола пришли к ромеям от русских — ведь в русских летописях («а все шито золото(м̑) и кадѣлничѣ двѣ, и кацьи, и єѹа(г̑)є ковано и книгы и колоколы») — колокола упомянуты уже в 1146 году. Тут, как часто делается, можно предположить, что на Русь колокола пришли из германских земель; впрочем, более вероятным («by all odds») представляется Мильковичу, что и в Константинополь, и на Святую Гору колокола привезли бенедиктинцы из Амальфи.
Если так трудно определить, как приходит колокольный звон в православное богослужение, то тем труднее понять, и я не смог, когда и как родился на Руси замечательный обычай — в Светлую Седмицу разрешать звонить всем желающим. Из моих приблизительных ровесников, кроме Серёжи Маркелова, никого не знаю, кто звонил бы, но за двадцать лет таких желающих стало, по-моему, гораздо больше, и сегодня древняя традиция прочно укоренена в повседневности. Каждый день от Пасхи до Фомина воскресенья по всей Москве от храма к храму ходят паломники, среди которых, разумеется, много и математиков — с двумя студентами мехмата я познакомился прямо на Климентовой колокольне; в Данилов монастырь с его знаменитыми колоколами выстраиваются огромные очереди; все те, куда пускают, московские колокольни полны звонящими — взрослыми и детьми; смельчаков, сумевших подняться по узенькой лестнице колокольни Храма Вознесения Господня на Гороховом поле награждают изумительные виды — и от колокольни Спасского собора Заиконоспасского монастыря до колокольни Храма Усекновения Главы Иоанна Предтечи в Казенной слободе (храм снесли, а колокольню не успели: началась война), так поразивший когда-то Павла Алеппского благовест вновь напоминает столице о Светлом Воскресении Христовом.
В 2019 году я уехал из России. Когда через три года я захотел вернуться, разные коллеги высказывали разные мнения — а Серёжа включился на полную мощность и очень помог. Всегда об этом помню. Серёжа Маркелов многому научил меня и сделал мне много добра. Спасибо, Серёжа.
Лекция в 57-й школе. 2017 год
כִּ֤י ה֣וּא יַ֭צִּֽילְךָ מִפַּ֥ח יָק֗וּשׁ מִדֶּ֥בֶר הַוֹּֽות׃
5בְּאֶבְרָתֹ֨ו ׀ יָ֣סֶךְ לָ֭ךְ וְתַֽחַת־כְּנָפָ֣יו תֶּחְסֶ֑ה צִנָּ֖ה וְֽסֹחֵרָ֣ה אֲמִתֹּֽו׃
Фото из архива семьи Маркеловых
1. Wang H. Proving theorems by pattern recognition I. // Communications of the ACM, 3 (1960), 220–234.
2. Wang H. Notes on a class of tiling problems // Fundamenta Mathematicae, 82 (1975), 295–305.
3. Bhattacharya S. Periodicity and Decidability of Tilings of Z2 // Amer. J. Math., 142, (2020), 255–266.
4. Szegedy M. Algorithms to tile the infinite grid with finite clusters // Proceedings of the 39th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS ‘98), IEEE Computer Society, Los Alamitos, CA (1998), 137–145.
5. Greenfeld R., Tao T. A counterexample to the periodic tiling conjecture (announcement).
arxiv.org/abs/2209.08451
6. Greenfeld R., Tao T. Undecidable translational tilings with only two tiles, or one nonabelian tile. arxiv.org/abs/2108.07902
7. Greenfeld R., Tao T. Undecidability of translational monotilings. arxiv.org/abs/2309.09504
8. Greenfeld R., Tao T. A counterexample to the periodic tiling conjecture Rachel Greenfeld, Terence Tao. arxiv.org/abs/2211.15847
9. Miljkovic B. Semantra and bells in Byzantium // Zbornik radova Vizant. Inst. LV, 2018.
10. Cronache veneziane antichissime, I, ed. G. Monticolo, Roma 1890.
1 Господи! если бы Ты был здесь, не умер бы брат мой. Но и теперь знаю, что чего Ты попросишь у Бога, даст Тебе Бог (Ин 11:21-22).
2 Решения этой и следующих задач см. на problems.ru (задачи №№ 109193, 108092, 64970, 115894, 116192).
3 Szegedy M. Algorithms to tile the infinite grid with finite clusters // Proceedings of the 39th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS ‘98), IEEE Computer Society, Los Alamitos, CA (1998), 137–145.
4 Задача про автомобиль была предложена на Олимпиаде им. И. Ф. Шарыгина в 2007 году (8 класс) и опубликована на 4-й странице обложки самого первого выпуска журнала «Квантик» (№1, 2012). Мы приводим здесь рисунок художника В. Пяткина для журнала «Квантик»; рисунок с олимпиады см. на problems.ru, задача 110758.
5 Он избавит тебя от сети ловца, от гибельной язвы, перьями Своими осенит тебя, и под крыльями Его будешь безопасен; щит и ограждение — истина Его. (Пс. 90:3–4, синодальный перевод).